Предисловие 6
1 Введение 7
1.1 Вводные замечания 7
1.2 Основные этапы развития механики 8
1.3 Механика и высшее техническое образование 13
2 Ретроспективный взгляд на тензорное исчисление 15
2.1 Тензорное исчисление или тензорный язык? 15
2.2 Арифметический подход к тензорному исчислению 17
2.3 Прямой тензорный язык 22
3 Векторы в трехмерном пространстве 26
3.1 Системы отсчета и системы координат. Движения 26
3.2 Скаляры или тензоры нулевого ранга 33
3.3 Полярные и аксиальные векторы 35
3.4 Основные операции с векторами 39
3.5 Примеры 46
3.6 Базис. Взаимный базис. Замена базиса 50
3.7 Обобщенные символы Кронекера 60
3.8 Векторные функции скалярного аргумента 66
3.8.1 Дифференцирование векторных функций 66
3.8.2 Кривые в трехмерном пространстве 70
3.9 Криволинейные системы координат 73
3.9.1 Общие соотношения 73
3.9.2 Деривационные формулы. Ковариантное дифференци-
рование 76
3.9.3 Ортогональные системы координат 77
3.9.4 Цилиндрическая система координат 78
3.9.5 Сферическая система координат 80
3
Оглавление
3.10 Скалярные функции векторного аргумента 81
Тензоры второго ранга 86
4.1 Необходимость введения тензоров второго ранга 86
4.2 Прямое произведение векторных пространств 89
4.3 Тензорное произведение векторных пространств 90
4.4 Операции с тензорами второго ранга 93
4.5 Симметричные и антисимметричные тензоры 97
4.6 Координаты тензора второго ранга 104
4.7 Линейные функции векторов и тензоры второго ранга 106
4.8 Ортогональные тензоры 112
4.9 Теорема Эйлера 120
4.10 Правило квазикоммутативности поворотов 124
4.11 Спектральное и полярное разложение тензоров 127
Кинематика: описание движений 132
5.1 Системы отсчета и системы координат 132
5.2 Кинематика точки. Траектория. Скорость и ускорение 135
5.3 Частные случаи движения материальной точки 139
5.3.1 Прямолинейное движение 139
5.3.2 Равномерное движение по прямой 141
5.3.3 Колебательное движение материальной точки по прямой 142
5.3.4 Сложное движение материальной точки вдоль двух ор-
тогональных между собой прямых 142
5.3.5 Движение материальной точки по окружности 146
5.3.6 Равномерное движение материальной точки по спирали . 147
5.4 Траекторное описание движения материальной точки 148
5.4.1 Пример 1. Движение частицы по окружности — траек-
торное описание 151
5.4.2 Пример 2. Полет камня в поле силы тяжести 151
5.5 Движение спутника Земли по круговой орбите 155
5.6 Движение тела в центральном поле тяготения 158
5.7 Абсолютно твердое тело 163
5.8 Основная теорема кинематики абсолютно твердого тела 166
5.9 Тензор поворота и вектор поворота 174
5.10 Вектор поворота 178
5.11 Вектор малого поворота 182
5.12 Неоднозначность суждений о векторе поворота 183
Оглавление 5
5.13 Плоские движения твердого тела 185
5.14 Теорема о представлении тензора поворота 188
5.15 Дифференцирование тензоров второго ранга 193
5.16 Угловая скорость 195
5.17 Тензор спина и вектор угловой скорости 196
5.18 Определение поворота по угловой скорости 200
5.19 Вращение вокруг фиксированной оси 204
5.20 Связь угловой скорости с вектором поворота 207
5.21 Угловая скорость композиции поворотов 212
5.22 Распределение скоростей и ускорений в абсолютно твердом теле 217
5.23 Качение цилиндра по плоскости 220
5.24 Качение конуса по конусу 223
5.24.1 Классическое решение 224
5.24.2 Альтернативное решение 225
5.24.3 Определение поворотов в классическом решении 229
5.25 Шарнир Гука 231
5.26 Сложное движение материальной точки 237
5.27 Сложные движения абсолютно твердого тела 241
5.28 Относительные повороты 243
5.29 Замена систем отсчета 245
5.30 Принцип материальной объективности 253
5.31 Движущиеся среды. Материальная производная 263
Литература 269