Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Принятые сокращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
РАЗДЕЛ 1. Введение в теорию случайных процессов . . . . 9
Лекция 1. Определение, классификация и основные характери-
стики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Лекция 2. Свойства характеристик стохастической связи. . . . . . 15
Лекция 3. Стационарность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
РАЗДЕЛ 2. Дискретные цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Лекция 4. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Лекция 5. Анализ структуры пространства состояний и класси-
фикация цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Лекция 6. Долгосрочный прогноз эволюции цепей с одним клас-
сом эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Лекция 7. Долгосрочный прогноз эволюции цепей с L классами
эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Лекция 8. Дискретные цепи Маркова с доходами . . . . . . . . . . . 54
Лекция 9. Построение оптимального управления на конечном
горизонте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Лекция 10. Построение оптимального управления на бесконеч-
ном горизонте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Лекция 11. Два класса прикладных задач управления цепями
с доходами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
РАЗДЕЛ 3. Непрерывные цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . 82
Лекция 12. Простейший поток событий. Пуассоновская цепь. . . 82
Лекция 13. Дифференциально-разностные уравнения Колмого-
рова и их решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Лекция 14. Процессы гибели и размножения (общие сведения) 100
Лекция 15. Процесс чистого размножения (построение вероят-
ностей состояний) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Оглавление
Лекция 16. Процессы чистой гибели (построение вероятностей
состояний) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Лекция 17. Процессы гибели и размножения. Стационарные ре-
жимы cистем обслуживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Сборник задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 1. Элементарные случайные функции (процессы). . . . . . . . . . 134
§ 2. Построение дискретных марковских моделей . . . . . . . . . . . 141
§ 3. Анализ структуры и предельного поведения дискретных
цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 4. Дискретные цепи с доходами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
§ 5. Непрерывные цепи. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . 184
§ 6. Финальные вероятности состояний непрерывных цепей . . . 195
§ 7. Непрерывные процессы гибели и размножения — матема-
тические модели экономических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 200