Предисловие 5
ЧАСТЬ I
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Глава 1. Тензоры на линейных пространствах 7
§ 1.1. Линейное пространство и сопряженное пространство 7
§ 1.2. Взаимные базисы. Контравариантные и ковариантные век-
торы 9
§ 1.3. Тензорное произведение линейных пространств 12
§ 1.4. Базнс в тензорном произведении. Координаты тензора 13
§ 1.5. Тензоры высших рангов. Произведение тензоров 20
§ 1.6. Полилинейные формы и нх тензоры 25
§ 1.7. Симметрирование и альтернирование 26
§ 1.8. Свойства косых форм. Дискриминантный тензор 31
Глава 2. Тензоры в нрострвнствах с кввдрвтичной метрикой 36
§ 2.1. Скалярное произведение и метрическая форма 36
§ 2.2. Тензоры в пространствах с квадратичной метрикой 38
§ 2.3. Объем и дискримннантиый тензор в евклидовом прост-
ранстве. Векторное произведение 44
Глава 3. Тензорный вналнз 48
§ 3.1. Аффинное пространство 48
§ 3.2. Изоморфизм аффинных пространств. Тензорное поле 50
§ 3.3. Точечное евклидово пространство. Криволинейные коор-
динаты 51
§ 3.4. Ковариантное дифференцирование 56
§ 3.5. Свойства ковариантных производных 60
§ 3.6. Свойства символов Кристоффеля 62
§ 3.7. Условия евклидовости пространства 64
§ 3.8. Дифференциальные операторы и интегральные теоремы ... 69
§ 3.9. Ортогональные координаты. Физические компоненты тен-
зора 73
Глава 4. Инварианты тензора 76
§ 4.1. Определение инвариантов 76
§ 4.2. Главные направления и главные значения тензора 77
3
§ 4.3. Тензорная поверхность 80
§ 4.4. Специальные тензоры второго ранга 82
ЧАСТЫ1
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Глава 5. Кинематика и теория деформаций 86
§ 5.1. Методы описания движения сплошной среды 86
§ 5.2. Тензоры деформаций 93
§ 5.3. Механический смысл компонент тензоров деформаций 98
§ 5.4. Инварианты тензоров деформаций 104
§ 5.5. Связь тензоров деформаций с вектором перемещений ПО
§ 5.6. Условия совместности деформаций 116
§ 5.7. Малые деформации 121
§ 5.8. Механический смысл малых деформаций 127
§ 5.9. Уравнения совместности для малых деформаций 128
§ 5.10. Тензор скоростей деформаций 131
§ 5.11. Механический смысл скоростей деформаций 133
Глава 6. Динамика и теория напряжений 140
§ 6.1. Классификация сил. Напряженное состояние 140
§ 6.2. Уравнение неразрывности. Несжимаемая среда 144
§ 6.3. Уравнения движения в интегральной форме 150
§ 6.4. Тензор напряжений Лагранжа 154
§ 6.5. Другие тензоры напряжений 160
§ 6.6. Дифференциальные уравнения движения. Симметрия тен-
зора напряжений 165
§ 6.7. Инварианты тензора напряжений 170
§ 6.8. Теорема о кинетической энергии 175
Глава 7. Термодинамика и замкнутые системы МСС 179
§ 7.1. Термодинамические системы. Пространство состояний 179
§ 7.2. Закон сохранения энергии. Уравнение притока тепла 184
§ 7.3. Уравнение баланса энтропии 189
§ 7.4. Замкнутые системы МСС 195
§ 7.5. Упрощения задач МСС 199
§ 7.6. Примеры моделей СС 201
Литература 213